綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5．點D在Rt△ABC斜邊BC上運動，過點D作射線DP⊥DQ，分別與邊AB，AC交于點P，Q．
猜想證明：
（1）當點D在Rt△ABC斜邊BC的中點處時，
①如圖（1），在∠PDQ旋轉(zhuǎn)過程中，當點DP⊥AB時，DQ與BP的數(shù)量關(guān)系是 DQ=BPDQ=BP，DQDP=3434；
②當∠PDQ旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，DQDP的值是否發(fā)生變化？若不變，請證明；若變化，請說明理由；
③如圖③，在∠PDQ旋轉(zhuǎn)過程中，當AP=AQ時，直接寫出線段AQ的長 25142514；
類比探究
（2）當點D在Rt△ABC斜邊BC上運動時，
①如圖④，當點D運動到BD：BC=2：5時，DQDP=9898；
②如圖⑤，連接PQ，當△DPQ是等腰三角形時，求BD的長．
DQ
DP
3
4
3
4
DQ
DP
25
14
25
14
DQ
DP
9
8
9
8
【考點】相似形綜合題．
【答案】DQ=BP；；；
3
4
25
14
9
8
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/5 8:0:8組卷：24引用：2難度：0.5
相似題
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1．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中點，P是腰AB上一動點，連接PE并延長，交射線CD于點M，作EF⊥PE，交下底BC于點F，連接MF交AD于點N，連接PF，AB=AD=4，BC=6，點A、P之間的距離為x,△PEF的面積為y.
（1）當點F與點C重合時，求x的值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當∠CMF=∠PFE時，求△PEF的面積．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：240引用：1難度：0.5 -
2．【閱讀】“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式，角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……
（1）【問題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證．PAPB=ACBC
請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．
（2）【理解應(yīng)用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點D，則BD長度為 ；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點C恰好落在邊AB上的E點處．若AC=1，AB=2，則DE的長為 ；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長線于F，連接AF，當BD=3時，AF的長為 ．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：313引用：1難度：0.1 -
3．【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC、BC的中點，連接DE．則△CDE與△CAB的面積比為．
【探究】將圖①的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，使點E落在△ABC內(nèi)部，連接AD、BE，并延長BE分別交AC、AD于點O、F，其它條件不變，如圖②．
（1）求證：△ACD∽△BCE．
（2）求證：AD⊥BF．
【應(yīng)用】將圖②的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在邊BC的延長線上，連接AD、BE，BE的延長線交AD于點F，其它條件不變，如圖③，若AC=4，BC=3，則BF的長為．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：300引用：1難度：0.1
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