綜合與實(shí)踐：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，請(qǐng)同學(xué)們思考如何僅通過(guò)折紙的方法來(lái)確定該正方形一邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)．
【操作探究】
“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過(guò)一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下操作：
第1步：如圖1所示，先將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為EF；
第2步：再將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為AC，AC交EF于點(diǎn)P；
第3步：沿DE折疊正方形紙片ABCD，DE交AC于點(diǎn)G；
第4步：過(guò)點(diǎn)G折疊正方形紙片ABCD，使折痕MN∥AD．
則點(diǎn)M為AB邊的三等分點(diǎn)．證明過(guò)程如下：
由題意，可知E是AB的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn)，
∴
EP
=
1
2
BC
=
1
2
AD
，EP∥BC∥AD．
∴∠ADG=∠PEG，∠DAG=∠EPG．
∴△ADG
∽
∽
△PEG．∴
AG
PG
=
DA
EP
=
2
．
設(shè)PG=x,則AG=
2x
2x
．
∴AP=PC=3x.∴
AG
GC
=
2
x
x
+
3
x
=
1
2
．
易得MG∥BC．∴
AG
GC
=
AM
MB
=
1
2
，即點(diǎn)M為AB邊的三等分點(diǎn)．
“奮進(jìn)”小組的同學(xué)是這樣操作的：
第1步：如圖2所示，先將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為EF；
第2步：將BC邊沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延長(zhǎng)EG交AD于點(diǎn)H．

（1）“啟航”小組的證明過(guò)程中，兩處“”上的內(nèi)容依次為
∽
∽
，
2x
2x
．
（2）結(jié)合“奮進(jìn)”小組的操作過(guò)程，判斷點(diǎn)H是否為AD邊的三等分點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將△EBC沿CE翻折得到△EGC，直線EG與直線AD交于點(diǎn)H．若
DH
=
1
3
AD
，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【答案】∽；2x；∽；2x

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：455引用：3難度：0.1

相似題

2．【閱讀】“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方式，角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……
（1）【問(wèn)題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證
PA
PB
=
AC
BC
．

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過(guò)點(diǎn)B作BD∥PA，交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥PA交PA于點(diǎn)D，作CE⊥PB交PB于點(diǎn)E，利用“等面積法”．

請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；
（2）【理解應(yīng)用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，則BD長(zhǎng)度為
；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．若AC=1，AB=2，則DE的長(zhǎng)為
；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于F，連接AF，當(dāng)BD=3時(shí)，AF的長(zhǎng)為
．

發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：313引用：1難度：0.1

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