綜合與實踐
老師讓同學們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點M，P，N分別為DE，AD，AB的中點．試判斷線段PM與PN的數(shù)量關系和位置關系．
甲小組發(fā)現(xiàn)：PM=PN，PM⊥PN．并進行了證明，下面的兩個片段是截取的部分證明過程（片段前后證明過程已省略）：
【片段1】∵點P，M分別是AD，DE的中點，
∴PM∥AE，PM=12AE．（理由1）
【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°．（理由2）
反思交流
（1）①填空：理由1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；理由2：直角三角形的兩銳角互余直角三角形的兩銳角互余；
②圖1中，MN與AB的位置關系是 MN⊥AB或MN垂直平分ABMN⊥AB或MN垂直平分AB．
（2）乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，把△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請判斷△PMN的形狀并證明；
（3）丙小組的同學繼續(xù)探究：把△CDE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當CD=4，CB=10時，直接寫出線段MN長度的最大值．
PM
∥
AE
，
PM
=
1
2
AE
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；直角三角形的兩銳角互余；MN⊥AB或MN垂直平分AB
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/26 11:36:51組卷：240引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，且DE=DA．
（1）求證：∠BAD=∠EDC；
（2）點E關于直線BC的對稱點為M，聯(lián)結(jié)DM，AM．
①根據(jù)題意將圖補全；
②在點D運動的過程中，DA和AM有什么數(shù)量關系并證明．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：261引用：2難度：0.2 -
2．如圖（1），在矩形ABCD中，AB=6，BC=2
，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，如圖（2）以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設運動的時間為t秒（t＞0）．3
（1）如圖（3），當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；
（2）如圖（4），當?shù)冗叀鱁FG的頂點G恰好落在CD邊上時，求運動時間t的值；
（3）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請求出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量，的取值范圍．
發(fā)布：2025/1/13 8:0:2組卷：357引用：2難度：0.5 -
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=10cm,對角線BD=12cm,動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB勻速運動；動點Q同時從點D出發(fā)，以2cm/s的速度沿BD的延長線方向勻速運動．當點P到達點B時，點P，Q同時停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t≤10），過點P作PE∥BD，交AD于點E，以DQ、DE為邊作?DQFE，連接PD，PQ．
（1）當t為何值時，點P在以BQ為直徑的圓上？
（2）設四邊形BPFQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式．
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t,使四邊形BPFQ的面積與菱形ABCD面積之比為25：32？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）是否存在某一時刻t,使點P在∠BQF的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：25引用：0難度：0.2