2011年九年級數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平競賽題

一、解答題（共13小題，滿分120分）

• 1．如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O．給出下列三個(gè)條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
  （1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件

  可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；
  （2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形．
  組卷：256引用：22難度：0.7

  解析

• 2．如圖，矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)．
  （1）求證：△ABM≌△DCM；
  （2）請你探索，當(dāng)矩形ABCD中的一組鄰邊滿足何種數(shù)量關(guān)系時(shí)，有BM⊥CM成立，說明你的理由．
  組卷：56引用：2難度：0.5

  解析

• 3．如圖所示，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B、D．
  （1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)和一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式；
  （2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍．
  組卷：60引用：4難度：0.3

  解析

• 4．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一條拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對稱軸為直線x=1，B（3，0），C（0，-3）．
  （1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、C兩點(diǎn)距離之和最??？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：120引用：1難度：0.5

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一、解答題（共13小題，滿分120分）

• 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
  （不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．
  （1）求證：

  EG

  AD

  =

  CG

  CD

  ；
  （2）FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；
  （3）當(dāng)AB=AC時(shí)，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由．
  組卷：759引用：3難度：0.1

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• 13．在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連接BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點(diǎn)E，P，F(xiàn)，且∠BPF=60度．
  （1）如圖1，寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
  （2）若直線l向右平移到圖2，圖3的位置時(shí)（其它條件不變），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明），若不成立，請說明理由；
  （3）探究：如圖1，當(dāng)BD滿足什么條件時(shí)（其它條件不變），PF=

  1

  2

  PE？請寫出探究結(jié)果，并說明理由．
  （說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）
  組卷：748引用：22難度：0.3

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