2021-2022學年吉林省長春第二實驗中學高二（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知點A（1，2），B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（　?。?/h2>

  A．4x+2y=5

  B．4x-2y=5

  C．x+2y=5

  D．x-2y=5
  組卷：2039引用：79難度：0.9

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• 2．下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（　　）

  A． OM =2 OA - OB - OC	B． OM = 1 5 OA + 1 3 OB + 1 2 OC
  C． MA + MB + MC =0	D． OM + OA + OB + OC =0
  組卷：302引用：10難度：0.9

  解析

• 3．已知a∈R，若方程a²x²+（a+2）y²+4x+8y+5a=0表示圓，則此圓心坐標（　?。?/h2>

  A．（-2，-4）	B． （ - 1 2 ，- 1 ）
  C．（-2，-4）或 （ - 1 2 ，- 1 ）	D．不確定
  組卷：234引用：3難度：0.7

  解析

• 4．如圖，空間四邊形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點M為OA的中點，點N在線段BC上，且CN=2NB，則

  MN

  =（　?。?/h2>

  A． 1 2 a - 2 3 b - 1 3 c	B． - 1 3 a + 1 2 b + 2 3 c
  C． 2 3 a - 1 2 b + 1 3 c	D． - 1 2 a + 2 3 b + 1 3 c
  組卷：896引用：10難度：0.7

  解析

• 5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=3，AB=5，AA₁=4，則異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 5 5

  B． 2 5 5

  C． 15 5

  D． 2 2 5
  組卷：283引用：7難度：0.7

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• 6．由倫敦著名建筑事務所Steyn Studio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（　?。?br />

  A．y=± 3 x

  B．y=± 3 3 x

  C．y=±x

  D．y=±2x
  組卷：194引用：10難度：0.7

  解析

• 7．過拋物線C：y²=4x的焦點F作斜率為1的直線l,交拋物線C于A，B兩點，則弦長|AB|=（　?。?/h2>

  A． 3 2

  B．8

  C．9

  D．12
  組卷：21引用：3難度：0.7

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四、解答題（本共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程和演算步驟）

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  2

  2

  ，點A（2，1）在橢圓C上．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）不過點A的直線l與橢圓相交于不同的兩點M，N，若直線AM與直線AN的斜率k₁，k₂總滿足k₁?k₂=-

  1

  2

  ，求證：直線l必過定點．
  組卷：122引用：3難度：0.6

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• 22．已知拋物線E：y²=4x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，交y軸于點C，O為坐標原點．
  （1）若k_OA+k_OB=4，求直線l的方程；
  （2）線段AB的垂直平分線與直線l,x軸，y軸分別交于點D，M，N，求

  S

  △

  NDC

  S

  △

  FDM

  的最小值．
  組卷：143引用：4難度：0.3

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