2021-2022學年北京市清華大學附中高一（下）期末數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

• 1．已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，則集合B可以是（　?。?/h2>

  A．{x|2x＞1}

  B．{x|x2＞1}

  C．?

  D．{1，2，3}
  組卷：98引用：1難度：0.7

  解析

• 2．已知a,b∈R，a+3i=（b+i）i（i為虛數單位），則（　?。?/h2>

  A．a=1，b=-3

  B．a=-1，b=3

  C．a=-1，b=-3

  D．a=1，b=3
  組卷：2398引用：21難度：0.8

  解析

• 3．已知cosα=

  3

  5

  ，α是第一象限角，且角α，β的終邊關于y軸對稱，則tanβ=（　?。?/h2>

  A． 4 3

  B．- 4 3

  C． 3 4

  D．- 3 4
  組卷：445引用：1難度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2DA．記

  CA

  =

  m

  ，

  CD

  =

  n

  ，則

  CB

  =（　?。?/h2>

  A．3 m -2 n

  B．-2 m +3 n

  C．3 m +2 n

  D．2 m +3 n
  組卷：6152引用：32難度：0.7

  解析

• 5．已知a=3^0.5，b=log₃2，c=tan

  2

  π

  3

  ，則（　?。?/h2>

  A．a＞b＞c

  B．b＞a＞c

  C．c＞a＞b

  D．a＞c＞b
  組卷：283難度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  =（3，4），

  b

  =（1，0），

  c

  =

  a

  +t

  b

  ，若

  a

  ，

  c

  的夾角與

  b

  ，

  c

  的夾角相等，則t=（　?。?/h2>

  A．-6

  B．-5

  C．5

  D．6
  組卷：290難度：0.7

  解析

• 7．設x∈R，則“sinx=1”是“cosx=0”的（　?。?/h2>

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：170引用：2難度：0.8

  解析

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

• 20．設a＞0，函數f（x）=ae^x+

  1

  2

  x²+ax+a+1，g（x）=lnx+ax+a.
  （Ⅰ）若f′（0）=2，求a的值；
  （Ⅱ）求證：f（x）恰有1個極小值點，g（x）恰有1個零點；
  （Ⅲ）若x₁是f（x）的極值點，x₂是g（x）的零點，求證：x₁=-ax₂-a.
  組卷：106引用：3難度：0.4

  解析

• 21．設數列A：a₁，a₂，…，a_n中每一項都是正整數，如果

  a

  1

  a

  2

  ，

  a

  2

  a

  3

  ，…，

  a

  n

  -

  1

  a

  n

  兩兩不同，則稱數列A為L一數列．設G（A）={a_i|1≤i≤n}，并且記G（A）中的元素個數為|G（A）|．
  （Ⅰ）判斷數列A₁：1，3，1，4與數列A₂：1，2，2，4是否為L一數列，并說明理由；
  （Ⅱ）若數列A為L一數列，且n=9，求證：|G（A）|的最小值為4；
  （Ⅲ）若數列A：a₁，a₂，…，a₃₂為L一數列，且|G（A）|=6，求證：a₁+a₂+…+a₃₂≥132．
  組卷：36難度：0.6

  解析