嘉琪家里有一款高腳杯，她發(fā)現(xiàn)高腳杯的杯體可以近似看成拋物線．于是她開始進行測量，并畫出了高腳杯的截面圖（杯體厚度忽略不計）如圖（1）．點P是拋物線的頂點，CD=OP=8cm.點O是CD的中點，且OP⊥CD，AB=12cm,杯子的高度（即CD，AB之間的距離）為20cm.嘉琪想借此考查一下對學過的知識掌握情況，于是以O為原點，CD所在直線為x軸，OP所在直線為y軸，建立平面直角坐標系（1個單位長度表示1cm），并提出了以下問題，你也來一起解決吧！
（1）求杯體APB所在拋物線的解析式；
（2）將杯子向左平移3cm,并倒?jié)M飲料，杯體APB與y軸交于點M，如圖（2），過點A放一根吸管，吸管底部碰觸到杯壁后不再移動，喝過一次飲料后發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點M，設吸管所在直線的解析式為y=kx+b,求k的取值范圍；
（3）將放在水平桌面l上的裝有飲料的高腳杯繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，液面恰好到達點B處（BQ∥l），如圖（3）．
①請你以CD的中點O為原點，CD所在直線為x軸，OP所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，并求出BQ與y軸的交點坐標；
②請直接寫出此時杯子內(nèi)液體的最大深度．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/2 8:0:9組卷：559引用：4難度：0.1
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1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx-2與x軸的兩個交點是A（4，0），B（1，0），與y軸的交點是C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）設拋物線的頂點是F，對稱軸與AC的交點是N，P是在AC上方的該拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，交AC于M．若P點的橫坐標是m.問：
①m取何值時，過點P、M、N、F的平面圖形不是梯形？
②四邊形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，請求出此時m的值；若不可能，請說明理由．
發(fā)布：2025/1/2 8:0:1組卷：82引用：1難度：0.5 -
2．如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y=x2-2x-3，AB為半圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為．發(fā)布：2024/12/23 17:30:9組卷：3646引用：37難度：0.4 -
3．如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C在x軸上，點D（3，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內(nèi)，設點B的對應點為點E．若拋物線y=ax2-45ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點落在△ADE的內(nèi)部，則a的取值范圍是（ ?。?/h2>5發(fā)布：2024/12/26 1:30:3組卷：2665引用：7難度：0.7
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