綜合與實踐
問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點旋轉”為主題開展數學活動，如圖1，三角板ABC和三角板CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點M，P，N分別為DE，AD，AB的中點．試判斷線段PM與PN的數量關系和位置關系．
探究展示：勤奮小組發(fā)現，PM=PN，PM⊥PN．并展示了如下的證明方法：
∵點P，N分別是AD，AB的中點，∴PN∥BD，PN=12BD．
∵點P，M分別是AD，DE的中點，∴PM∥AE，PM=12AE．（依據1）
∵CA=CB，CD=CE，∴BD=AE，∴PM=PN．
∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC．
∵PM∥AE，∴∠DPM=∠DAC．
∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°．（依據2）
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠CAD+∠ADC=90°．∴PM⊥PN．
反思交流：
（1）①上述證明過程中的“依據1”，“依據2”分別是指什么？
②試判斷圖1中，MN與AB的位置關系，請直接回答，不必證明；
（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，把△CDE繞點C逆時針方向旋轉到如圖2的位置，發(fā)現△PMN是等腰直角三角形，請你給出證明；
（3）縝密小組的同學繼續(xù)探究，把△CDE繞點C在平面內自由旋轉，當CD=4，CB=10時，求△PMN面積的最大值．
PN
=
1
2
BD
PM
=
1
2
AE
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/1 8:0:9組卷：649引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖（1），在矩形ABCD中，AB=6，BC=2
，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，如圖（2）以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側．設運動的時間為t秒（t＞0）．3
（1）如圖（3），當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；
（2）如圖（4），當等邊△EFG的頂點G恰好落在CD邊上時，求運動時間t的值；
（3）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請求出S與t之間的函數關系式，并寫出相應的自變量，的取值范圍．
發(fā)布：2025/1/13 8:0:2組卷：357引用：2難度：0.5 -
2．如圖，在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，且DE=DA．
（1）求證：∠BAD=∠EDC；
（2）點E關于直線BC的對稱點為M，聯結DM，AM．
①根據題意將圖補全；
②在點D運動的過程中，DA和AM有什么數量關系并證明．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：263引用：2難度：0.2 -
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=10cm,對角線BD=12cm,動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB勻速運動；動點Q同時從點D出發(fā)，以2cm/s的速度沿BD的延長線方向勻速運動．當點P到達點B時，點P，Q同時停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t≤10），過點P作PE∥BD，交AD于點E，以DQ、DE為邊作?DQFE，連接PD，PQ．
（1）當t為何值時，點P在以BQ為直徑的圓上？
（2）設四邊形BPFQ的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式．
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t,使四邊形BPFQ的面積與菱形ABCD面積之比為25：32？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）是否存在某一時刻t,使點P在∠BQF的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：25引用：0難度：0.2