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某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=ax2(a>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn):如圖1所示,該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0,
1
4
a
)的距離PF,始終等于它到定直線l:y=-
1
4
a
的距離PN(該結(jié)論不需要證明).他們稱:定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn),定直線l為圖象的準(zhǔn)線,y=-
1
4
a
叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H.其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn),F(xiàn)H=2OF=
1
2
a
.例如,拋物線y=2x2,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,
1
8
),準(zhǔn)線方程為l:y=-
1
8
,其中PF=PN,F(xiàn)H=2OF=
1
4


【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程:
(0,1)
(0,1)
,
y=-1
y=-1
;
【技能訓(xùn)練】
(2)如圖2,已知拋物線y=
1
4
x2上一點(diǎn)P(x0,y0)(x0>0)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
【能力提升】
(3)如圖3,已知拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為l.直線m:y=
1
2
x-3交y軸于點(diǎn)C,拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d1,到直線m的距離為d2,請(qǐng)直接寫出d1+d2的最小值;
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn):若將拋物線y=ax2(a>0)平移至y=a(x-h)2+k(a>0).拋物線y=a(x-h)2+k(a>0)內(nèi)有一定點(diǎn)F(h,k+
1
4
a
),直線l過(guò)點(diǎn)M(h,k-
1
4
a
)且與x軸平行.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離PP1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離(該結(jié)論不需要證明).例如:拋物線y=2(x-1)2+3上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,
25
8
)的距離等于點(diǎn)P到直線l:y=
23
8
的距離.
請(qǐng)閱讀上面的材料,探究下題:
(4)如圖4,點(diǎn)D(-1,
3
2
)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線y=
1
4
x2-1上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PO+PD取最小值時(shí),請(qǐng)求出△POD的面積.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【答案】(0,1);y=-1
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布:2024/5/23 8:0:8組卷:2483引用:5難度:0.1
相似題
  • 1.如圖,已知拋物線y=ax2+bx-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是A(4,0),B(1,0),與y軸的交點(diǎn)是C.
    (1)求該拋物線的解析式;
    (2)在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
    (3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)是F,對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)是N,P是在AC上方的該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PM⊥x軸,交AC于M.若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m.問(wèn):
    ①m取何值時(shí),過(guò)點(diǎn)P、M、N、F的平面圖形不是梯形?
    ②四邊形PMNF是否有可能是等腰梯形?若有可能,請(qǐng)求出此時(shí)m的值;若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    發(fā)布:2025/1/2 8:0:1組卷:82引用:1難度:0.5
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    發(fā)布:2024/12/23 17:30:9組卷:3647引用:37難度:0.4
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    5
    ,1)在BC上,將矩形OABC沿AD折疊壓平,使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi),設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.若拋物線y=ax2-4
    5
    ax+10(a≠0且a為常數(shù))的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部,則a的取值范圍是( ?。?/h2>

    發(fā)布:2024/12/26 1:30:3組卷:2665引用:7難度:0.7
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