2022年山西省強(qiáng)基計劃模擬試卷（五）

一、選擇題：（每小題6分，共36分）

• 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若

  sin

  （

  A

  +

  C

  ）

  （

  cos

  B

  b

  +

  cos

  C

  c

  ）

  =

  sin

  A

  sin

  C

  ，

  B

  =

  π

  3

  ，則a+c的取值范圍是（　　）

  A． （ 3 2 ， 3 ]

  B． （ 3 2 ， 3 ]

  C． [ 3 2 ， 3 ]

  D． [ 3 2 ， 3 ]
  組卷：370引用：8難度：0.6

  解析

• 2．定義數(shù)列{a_n}如下：存在k∈N^*，滿足a_k＜a_k+1，且存在s∈N^*，滿足a_s＞a_s+1，已知數(shù)列{a_n}共4項，若a_i∈{t,x,y,z}（i=1，2，3，4）且t＜x＜y＜z,則數(shù)列{a_n}共有（　?。?/h2>

  A．190個

  B．214個

  C．228個

  D．252個
  組卷：464引用：3難度：0.5

  解析

• 3．已知正項數(shù)列{a_n}中，a₁=1，

  a

  n

  =

  1

  -

  a

  2

  n

  +

  1

  2

  a

  n

  +

  1

  ，若存在實數(shù)t,使得t∈（a_2n，a_2n-1）對任意的n∈N^*恒成立，則t=（　?。?/h2>

  A． 3 3

  B． 2 3

  C． 2 2

  D． 3 2
  組卷：86引用：1難度：0.4

  解析

• 4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，AA₁=2，E，F(xiàn)分別在側(cè)面AA₁B₁B和側(cè)面AA₁C₁C內(nèi)運(yùn)動（含邊界），且滿足直線AA₁與平面AEF所成的角為30°，點A₁在平面AEF上的射影H在△AEF內(nèi)（含邊界）．令直線BH與平面ABC所成的角為θ，則tanθ的最大值為（　　）

  A． 3 （ 2 + 3 ）

  B． 3 3

  C． 3

  D． 3 （ 2 - 3 ）
  組卷：201引用：1難度：0.4

  解析

• 5．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  右頂點為A（2，0），上頂點為B，該橢圓上一點P與A的連線的斜率

  k

  1

  =

  -

  1

  4

  ，AP的中點為E，記OE的斜率為k_OE，且滿足k_OE+4k₁=0，若C、D分別是x軸、y軸負(fù)半軸上的動點，且四邊形ABCD的面積為2，則三角形COD面積的最大值是（　?。?/h2>

  A． 3 - 2 2

  B． 3 + 2 2

  C． 2 - 2

  D． 3 - 2 2 2
  組卷：759引用：3難度：0.3

  解析

• 6．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^x-1，若當(dāng)x＞1時，f（x）-mx+1+m≤0有解，則m的取值范圍為（　?。?/h2>

  A．m≤1

  B．m＜-1

  C．m＞-1

  D．m≥1
  組卷：268引用：3難度：0.5

  解析

二、（50分）

• 17．給定由正整數(shù)組成的數(shù)列

  a 1 = 1 ， a 2 = 2

  a n + 2 = a n + 1 + a n

  （n≥1）．
  （1）求證：數(shù)列相鄰項組成的無窮個整點（a₁，a₂），（a₃，a₄），…，（a_2k-1，a_2k），…均在曲線x²+xy-y²+1=0上．
  （2）若設(shè)f（x）=xⁿ+x^n-1-a_nx-a_n-1，g（x）=x²-x-1，證明：g（x）整除f（x）．
  組卷：49引用：1難度：0.4

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三、（50分）

• 18．我們稱A₁，A₂，…，A_n為集合A的一個n分劃，如果
  （1）A₁∪A₂∪?∪A_n=A；
  （2）A_i∩A_j≠?，1≤i＜j≤n.
  求最小正整數(shù)m,使得對A={1，2，…，m}的任意一個13分劃A₁，A₂，…，A₁₃，一定存在某個集合A_i（1≤i≤13），在A_i中有兩個元素a、b滿足b＜a≤

  9

  8

  b.
  組卷：86引用：1難度：0.6

  解析