青島版九年級(jí)（下）中考題同步試卷：5.8 二次函數(shù)的應(yīng)用（13）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，-1），且對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)P、Q均在拋物線上，點(diǎn)P位于對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)Q位于對(duì)稱軸左側(cè)，PA垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)A，QB垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)B，且QB=PA+1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
  （1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
  （2）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
  （3）請(qǐng)?zhí)骄縋A+QB=AB是否成立，并說明理由；
  （4）拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）經(jīng)過Q、B、P三點(diǎn)，若其對(duì)稱軸把四邊形PAQB分成面積比為1：5的兩部分，直接寫出此時(shí)m的值．
  組卷：870引用：50難度：0.1

  解析

• 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-2，0），與y軸的交點(diǎn)為C，對(duì)稱軸是直線x=3，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B．
  （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
  （2）經(jīng)過B，C的直線l平移后與拋物線交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （3）若點(diǎn)D在x軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  
  組卷：3428引用：54難度：0.1

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• 3．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)碟形，線段AB稱為碟寬，頂點(diǎn)M稱為碟頂，點(diǎn)M到線段AB的距離稱為碟高．
  （1）拋物線y=

  1

  2

  x²對(duì)應(yīng)的碟寬為

  ；拋物線y=4x²對(duì)應(yīng)的碟寬為

  ；拋物線y=ax²（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為

  ；拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為

  ；
  （2）拋物線y=ax²-4ax-

  5

  3

  （a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
  （3）將拋物線y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)碟形記為F_n（n=1，2，3…），定義F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n為相似準(zhǔn)碟形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n-1的相似比為

  1

  2

  ，且F_n的碟頂是F_n-1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)碟形記為F₁．
  ①求拋物線y₂的表達(dá)式；
  ②若F₁的碟高為h₁，F(xiàn)₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n，則h_n=

  ，F(xiàn)_n的碟寬右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為

  ；F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說明理由．
  
  組卷：1895引用：52難度：0.1

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• 4．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=-

  3

  4

  x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若PE=5EF，求m的值；
  （3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：4201引用：74難度：0.1

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• 5．如圖，直線AB的解析式為y=2x+4，交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，以A為頂點(diǎn)的拋物線交直線AB于點(diǎn)D，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C（0，-4）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）將拋物線頂點(diǎn)沿著直線AB平移，此時(shí)頂點(diǎn)記為E，與y軸的交點(diǎn)記為F，
  ①求當(dāng)△BEF與△BAO相似時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)；
  ②記平移后拋物線與AB另一個(gè)交點(diǎn)為G，則S_△EFG與S_△ACD是否存在8倍的關(guān)系？若有請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
  組卷：4604引用：56難度：0.1

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• 6．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，-1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），已知二次函數(shù)y=

  3

  2

  x²+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經(jīng)過點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A′D′與y軸重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．
  （1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；
  （2）若運(yùn)動(dòng)過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長度的最大值；
  （3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A′D′上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過程中，當(dāng)PQ=

  10

  2

  時(shí)，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．
  （說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D′在拋物線外．）
  
  組卷：1137引用：53難度：0.1

  解析

• 7．已知一個(gè)矩形紙片OABC，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，點(diǎn)A（5，0），C（0，

  5

  2

  ），把矩形紙片沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)O落在點(diǎn)D，AD、BC相交于點(diǎn)E．
  （1）求CE的長；
  （2）求直線AC的函數(shù)解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （3）求經(jīng)過點(diǎn)C、D、B拋物線的解析式；
  （4）過點(diǎn)D作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)Q在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、D、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：767引用：50難度：0.1

  解析

• 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=

  3

  3

  x²先向右平移1個(gè)單位，再向下平移

  4

  3

  3

  個(gè)單位，得到新的拋物線y=ax²+bx+c,該拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸正半軸交于點(diǎn)C．
  （1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
  （2）如圖1，有一條與y軸重合的直線l向右勻速平移，移動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)的時(shí)間為t秒，直線l與拋物線y=ax²+bx+c交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，求出使△PBC的面積為2

  3

  的t值；
  （3）如圖2，將直線BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與x軸交于點(diǎn)M（1，0），與拋物線y=ax²+bx+c交于點(diǎn)A，在y軸上有一點(diǎn)D（0，

  2

  3

  3

  ），在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），EF=2，線段EF在x軸上平移，當(dāng)四邊形ADEF的周長最小時(shí)，先簡單描述如何確定此時(shí)點(diǎn)E的位置？再直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
  
  組卷：1079引用：50難度：0.1

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• 9．如圖，拋物線y=-

  1

  2

  x

  2

  +bx+3與y軸相交于點(diǎn)E，拋物線對(duì)稱軸x=2交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)A在x軸上，A（

  1

  2

  ，0），B（2，m）是射線FN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，過點(diǎn)C作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)D．
  （1）求b的值；
  （2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
  （3）當(dāng)以O(shè)、E、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
  
  組卷：489引用：50難度：0.1

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• 10．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線y=

  2

  3

  x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）．
  （1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其對(duì)稱軸；
  （2）點(diǎn)E為該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形ACEF為梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
  （3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（t,0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．
  組卷：1946引用：50難度：0.2

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
  （3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  
  組卷：5184引用：61難度：0.1

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• 30．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足點(diǎn)為E，連接AE．
  （1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
  （3）在（2）的條件下，當(dāng)S取到最大值時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，求出P′的坐標(biāo)，并判斷P′是否在該拋物線上．
  組卷：3072引用：65難度：0.1

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